12. Κατατομή του κανόνα με χρήση του πέμπτου αρμονικού

Μια πιο μοντέρνα άποψη στον υπολογισμό των διαστημάτων κάνει χρήση του 5ου αρμονικού (ΒΟΥ με βάση τον ΝΗ) τον οποίο θεωρεί συμφωνία. Αυτή η άποψη αποδίδεται στον Δίδυμο τον Αλεξανδρεύ (63π.χ-10μ.χ). Έτσι μπορούμε να «βαφτίσουμε» αυτά τα διαστήματα ως «διδυμικά» (αναφέρονται και ως «φυσικά») για ευκολία στον διαχωρισμό από αυτά που βασίζονται μόνο στους δυο πρώτους αρμονικούς που θα τα αναφέρουμε ως «πυθαγόρεια». Προκύπτουν έτσι διαστήματα που εκτός από δυνάμεις του 2 και του 3 στον αριθμητή ή τον παρανομαστή περιέχουν και δυνάμεις του 5. Έτσι ξεκινώντας από το δίτονο ως 5/4 προκύπτουν νέα διαστήματα όπως το 10/9 (5/4 : 9/8 = 10/9) που απέχει μόλις 1,95cents από τον πυθαγόρειο φυσικό τόνο που είδαμε πριν και το 16/15 (4/3 : 5/4 = 16/15) που απέχει εξίσου 1,95 cents από την απότομη. Ο 10/9 ((2*5)/32) αναφέρεται επίσης ως ελάσσων τόνος (ευρωπαϊκός) και το διάστημα 16/15 (24/(3*5)) ως αποτομή ή ημιτόνιο. Η διαφορά αυτή των 1.95 cents ανάμεσα στα διαστήματα που συναντήσαμε πριν και αυτά εδώ τώρα ονομάζεται «Σχίσμα» και το υπολογίζουμε ως 215/(38*5).

Σχίσμα από Ελάσσονες τόνους : 216/310 : (2*5)/32 = 215/(38*5)

Σχίσμα από αποτομές : 37/211 : 24/(3*5) = 215/(38*5)

Η διαφορά του μείζων τόνου 9/8 από τον ελάσσων (ευρωπαϊκό) 10/9 ονομάζεται «κόμμα συντονισμού» και δίδεται από τον λόγο 81/80 ή 34/(24*5) και απέχει βέβαια ένα Σχίσμα από το Πυθαγόρειο κόμμα.

Το σχίσμα είναι αμφίβολο αν μπορεί να διακριθεί από κάποιον άνθρωπο. Για αυτό μπορούμε να θεωρήσουμε τα διαστήματα που έχουν διαφορά σχίσματος ως πρακτικά ίσα.

Ακολουθεί ανάλογος πίνακας με τα νέα διαστήματα που είναι μικρότερα του μείζων τόνου.

Φυσικός τόνος (2*5)/32 10/9 1,1111
Ελάσσων τόνος (25*52)/36 800/729 1,0974
Ελάχιστος τόνος 33/52 27/25 1,0800
Αποτομή 24/(3*5) 16/15 1,0667
Λείμμα 28/35 256 / 243 1,0535
Χρωματική δίεση 52/(3*23) 25/24 1,0417
Εναρμόνια δίεση (34/(24*5))2 ή (2*53)/35 6561/6400
ή
250/243
1,0252
ή
1,0288
Κόμμα συντονισμού
34/(24*5) 81/80 1,0125

 

Συγκρίνοντας τους δυο πίνακες βλέπουμε ότι τα κόμματα, οι αποτομές, και οι φυσικοί τόνοι (πυθαγόρειοι και διδυμικοί) διαφέρουν ένα Σχίσμα. Το λείμμα είναι το ίδιο ενώ οι διέσεις καθώς και οι ελάχιστοι και οι ελάσσων τόνοι διαφέρουν κατά δυο Σχίσματα ((52*316)/230 που ισοδυναμούν με 3,91 (όσο μια ανοχή).

Τέλος ακολουθεί μια «πτολεμαϊκή» προσέγγιση των διαστημάτων που αναφέραμε.

Μείζον τόνος 9/8
Φυσικός τόνος 10/9
Ελάσσων τόνος 12/11 ή 11/10 (ή 23/21)
Ελάχιστος τόνος 13/12
Αποτομή 16/15
Λείμμα 20/19 ή 19/18
Χρωματική δίεση 26/25 ή 25/24
Εναρμόνια δίεση 41/40 ή 37/36
Πυθαγόρειο κόμμα 81/80 ή 74/73