Όπως είδαμε η διαίρεση του διαπασών σε 36 , 68 ή 72 κομμάτια παρουσιάζει προβλήματα στην ακρίβεια αρκετών διαστημάτων.

Προκειμένου τώρα να ανακαλύψουμε την κατάλληλη διαίρεση θα πρέπει να δώσουμε βαρύτητα στη σχέση του μείζων τόνου με το λείμμα. Θεωρώντας λοιπόν την μονάδα (βήμα-κόμμα) του συγκερασμένου συστήματος ως «ω» (κραδασμό μεγαλύτερο του ίσου), θα πρέπει κάθε διάστημα «χ» να μπορεί με ικανοποιητική ακρίβεια να εκφραστεί ως χ = ω^ν όπου για κάθε χ αντιστοιχεί ένα ν που πρέπει να είναι ακέραιος και επειδή αυτό είναι μάλλον αδύνατο, έστω να βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται σε κάποιον ακέραιο. Έστω λοιπόν ότι χρειαζόμαστε ν φορές το ω για να εκφράσουμε το λείμμα και μ φορές το ω για να εκφράσουμε τον τόνο. Θα ισχύει: ω^ν = 256/243 και ω^μ = 9/8με τη χρήση λογαρίθμων θα έχουμε:

λογ ω^ν = λογ (256/243) και λογ ω^μ = λογ (9/8)

βάση της θεωρίας των λογαρίθμων θα ισχύει:

ν * λογ ω = λογ (256/243) και μ * λογ ω = λογ (9/8)

διαιρώντας τις δυο εξισώσεις έχουμε:

μ/ν = (λογ (9/8)) / (λογ (256/243)) = 2,26

δίνοντας τώρα ακέραιες τιμές στο ν ξεκινώντας από το 1 περιμένουμε να πάρουμε τιμές του μ πολύ κοντά σε κάποιον ακέραιο

Φαίνεται ότι η αναλογία του τόνου με το λείμμα δίνεται με καταπληκτική ακρίβεια από τους αριθμούς 113 προς 50. Έτσι όμως το διαπασών θα αποτελείται από 665 μόρια (113*5 + 50*2). Το βήμα αυτής της διαίρεσης αντιστοιχεί στο διάστημα του σχίσματος (1.95 cents).

Η επόμενη πολλή καλή σχέση είναι 52 προς 23 που δίνει 306 μόρια για το διαπασών (52*5 + 23*2). Το βήμα της τελευταίας διαίρεσης αντιστοιχεί στο διάστημα της ανοχής (3.6 cents).

Οι δυο αυτές αναλογίες δεν έχουν πρακτική εφαρμογή στα υπάρχοντα μουσικά όργανα μια και ήδη τα 72 μόρια θεωρούνται πολλά για αυτό και η Πατριαρχική επιτροπή είχε προτείνει τα 36 όπως αναφέραμε.

Για λείμμα 3 ή 6 μόρια (προκύπτουν 36 και 72 μόρια αντίστοιχα) το σφάλμα υπολογίζεται περίπου 13% και δίνεται τόνος 6,78 και 13,5 μόρια αντίστοιχα. Αλλά και με λείμμα 5 μόρια προκύπτει τόνος 11,3 μόρια, με σφάλμα 5,9%.

Η σχέση που φαίνεται να κερδίζει και σε πρακτικότητα και σε ακρίβεια είναι αυτή που δίνει τόνο 9.04 μόρια για λείμμα 4 μόρια. Αν θεωρήσουμε τον τόνο 9 μόρια το σφάλμα είναι μόνο 0,45 % ή 4,5%0. Το διαπασών σε αυτή την περίπτωση θα αποτελείται από 53 μόρια (9*5 +4*2) που δεν είναι ούτε τόσο πολλά όσο τα 72 , ούτε τόσο λίγα όσο τα 36. Το βήμα αυτής της διαίρεσης αντιστοιχεί στο πυθαγόρειο κόμμα ή το κόμμα συντονισμού (22 cents).

Αυτό το σύστημα διαίρεσης της οκτάβας που αναφέρεται και ως «μερκατορικό» χρησιμοποιείται στην θεωρία της τούρκικης, αρμένικης και αραβοπερσικής μουσικής (που τόσο μοιάζει με τη δική μας) και είχε προταθεί και στην Ευρώπη την εποχή του J.S.Bach χωρίς να γίνει όμως αποδεκτό από τους κύκλους των μουσικών μια και οι ευρωπαίοι δέχτηκαν να χρησιμοποιούν την διαίρεση του διαπασών σε 12 μόνο κομμάτια.

Το ενδιαφέρων σε αυτή την διαίρεση είναι ότι όλα τα διαστήματα που υπολογίσαμε προηγουμένως (ιδιαίτερα τα πυθαγόρεια δηλαδή αυτά που προκύπτουν με χρήση του δεύτερου και τρίτου αρμονικού) απέχουν τόσο λίγο από αυτά που δίνονται από την διαίρεση του διαπασών σε 53 κομμάτια, που η διαφορά δεν γίνεται αντιληπτή μια και είναι τις περισσότερες φορές μικρότερη του Σχίσματος.

Όμως το σύστημα μπορεί να παράγει και τα πτολεμαϊκά 7/6 (12 κόμματα) και 8/7 (10 κόμματα) με ακρίβεια λίγο μικρότερη από όση το σύστημα δια 12 ή 36 ή 72 επιτυγχάνει στον μείζονα τόνο

Ακολουθούν πίνακες για να συγκρίνουμε πόσο τα πυθαγόρεια αλλά και τα διδυμικά διαστήματα απέχουν από τα διαστήματα που προκύπτουν από τις διαιρέσεις του διαπασών σε 72 και 53 κομμάτια.

Το ότι με τη διαίρεση του διαπασών σε 72 (ή 36) κομμάτια δεν έχουμε ακρίβεια στην απόδοση των διαστημάτων είναι βέβαια φανερό. Ακόμα, πολύ συχνά, η απόκλιση σε διαστήματα που προκύπτουν από πρόσθεση των παραπάνω διαστημάτων όπως τα διαστήματα διατρία (3Μ και 3μ) διαέξι (6Μ και 6μ) και διαεπτά (7Μ και 7μ) θα είναι συχνά μεγαλύτερη.

Επιστροφή στην κορυφή

ΔΙΑΠΑΣΩΝ / 53 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ

ΔΙΑΠΑΣΩΝ / 53 ΔΙΔΥΜΙΚΑ

Επιστροφή στην κορυφή

ΔΙΑΠΑΣΩΝ / 72 ΔΙΔΥΜΙΚΑ

Επιστροφή στην κορυφή