Γιατί στην πρόσθεση διαστημάτων κάνουμε πολλαπλασιασμό των λόγων;

Μια απλή προσέγγιση είναι μέσω ενός παραδείγματος πχ του δίτονου γα - κε.
Ξέρουμε ότι από γα ως δη , όπως επίσης, και από δη ως κε είναι μείζων τόνος 9 /8
Αυτό σημαίνει, από μια πλευρά, ότι το δη έχει συχνότητα ίση με τα 9/ 8 της συχνότητας του γα και το κε ίση με τα 9/8 της συχνότητας του δη. Άρα το κε θα έχει συχνότητα ίση με τα 9/8α των 9/8ων της συχνότητας του γα. Δηλαδή 9/8 χ 9/8 της συχνότητας του γα, άρα, 81/64 όπως ξέρουμε για το δίτονο.
Έτσι κι αλλιώς αν τολμούσαμε να πούμε ότι το διάστημα γα - κε είναι 18/8 αυτό θα έπρεπε να ξεπερνά την οκτάβα .....

Διάστημα είναι λοιπόν η αναλογία συχνοτήτων της κορυφής προς τη βάση (ή αντίστροφα για μήκη χορδής). Και το άθροισμα δυο διαστημάτων είναι η αναλογία της συχνότητας της κορυφής του πάνω διαστήματος προς την συχνότητα της βάσης του κάτω διαστήματος.

...

Όταν λογαριάζουμε τα διαστήματα ως μόρια είναι διαφορετικά. Κάθε μόριο είναι επίσης ένα διάστημα. Δεν είναι συχνότητα. Είναι η αναλογία της συχνότητας (ή μήκους) ενός σημείου προς την συχνότητα του προηγούμενου. Ο πολλαπλασιασμός όλων αυτών των αναλογιών σε μια οκτάβα θα πρέπει να δίνει αναλογία 2. Έτσι αν θέλουμε να βρούμε ποιο διάστημα αντιπροσωπεύει κάθε μόριο στην διαίρεση των 72 μορίων , ψάχνουμε τον αριθμό που αν πολλαπλασιαστεί 72 φορές με τον εαυτό του θα δώσει το 2. Δηλαδή την 72η ρίζα του 2.
Στην πράξη
Ξέρουμε ότι στα 72 μόρια, από νη ως δη είναι 42 μόρια. Τα 42 μόρια ισοδυναμούν με μια αναλογία συχνοτήτων 3/2 ή 1,5 αν θέλετε. Θα πρέπει τώρα αν υψώσουμε την 72η ρίζα του 2 εις την 42α να έχουμε 1, 5. Πράγματι (72η ρίζα 2)^42=1,4983

Αν θέλετε να τα ελέγξετε αυτά με ένα κομπιουτεράκι, ψάξτε την νιοστή ρίζα. Συνήθως συμβολίζεται με μια ρίζα που πάνω αριστερά έχει ένα χ και κάτω από την ρίζα το y. Πατάμε πρώτα το 2 μετά το σύμβολο και μετά το 72 ή όποια άλλη ρίζα ψάχνουμε.

Αν δεν υπάρχει αυτό το σύμβολο, μπορείτε να υψώνεται στο “ένα δια” τον αριθμό που θέλετε. Υψώνει το σύμβολο ^. Για να βρούμε την 72η ρίζα του 2 , υψώνουμε το 2 εις την 1/72. Δηλαδή πατάμε : 2 ^ (1/72) =..... Αν ψάχνουμε στην διαίρεση σε 53 υπολογίζουμε την 53ρίζα του2 για να βρούμε το διάστημα του κάθε κόμματος. Στο 12φθογγο ευρωπαϊκό το ημιτόνιο που είναι το 1/12 της κλίμακας είναι η αναλογία που δίνεται από την 12η ρίζα του 2.

ΥΓ: Χρειάζεται το επιστημονικό κομπιουτεράκι (ψάξτε στις ρυθμίσεις του συνηθισμένου των windows).

...

Αν θέλουμε να βρούμε πόσα κόμματα ή μόρια μιας διαίρεσης αντιστοιχούν σε ένα διάστημα που έχουμε σε λόγους ακεραίων χρησιμοποιούμε λογαρίθμους.

Ο αριθμός των μορίων προκύπτει από την διαίρεση του λογαρίθμου του διαστήματος προς τον λογάριθμο της ρίζας του 2 που αντιστοιχεί στην διαίρεση που μας ενδιαφέρει.

Αριθμός μορίων = λογάριθμος του λόγου των συχνοτήτων του διαστήματος / λογάριθμος της νιοστής ρίζας του 2 (όπου ν ο αριθμός των μορίων - κομμάτων).

Παράδειγμα
Πόσα μόρια,κόμματα,cents σχηματίζουν πέμπτη καθαρή στις διαίρεση του διαπασών σε 72 , 53 και 1200;


Η πέμπτη καθαρή δίνεται από την αναλογία 3/2 δηλαδή από τον δεκαδικό αριθμό 1,5
Η νιοστή ρίζα του 2 δίνεται από ύψωση του 2 εις την 1/ν.

Στα 72 μόρια έχουμε


Μόρια = λογ 1,5 / λογ (2^(1/72))      

Μόρια = λογ 1,5 / λογ 1,00967353322851

Μόρια = 0,176091259055681 / 0,004180972162

Μόρια = 42,1173000519256


Ανάλογα στα 53 κόμματα έχουμε:


Κόμματα = λογ 1,5 / λογ (2^(1/53))      

Κόμματα = λογ 1,5 / λογ 1,01316414302491

Κόμματα = 0,176091259055681 / 0,005679811238942

Κόμματα = 31,0030125382301


Ομοίως εργαζόμαστε για να βρούμε τα  cents ενός διαστήματος.


cents = λογ 1,5 / λογ (2^(1/1200))      

cents = λογ 1,5 / λογ 1,00057778950655

cents = 0,176091259055681 / 0,000250858329719

cents = 701,955000866806