Ας συνεχίσουμε τώρα στην κατατομή του κανόνα όπως προκύπτει από τον Πυθαγόρα. Δεχόμαστε μόνο τους 3 πρώτους αρμονικούς δηλαδή το ίσο, το διαπασών και το διαπέντε και από αυτούς υπολογίζουμε όλα τα άλλα διαστήματα. Μέχρι στιγμής έχουμε δει τα εξής διαστήματα:

Να πούμε τώρα ότι όλες οι δυνάμεις του 2 δείχνουν το φθόγγο του ίσου έστω ΝΗ , ενώ κάθε 2 αριθμούς που μεγαλώνει η δύναμη του 3 σημαίνει ανέβασμα τόνου και κάθε 1 αριθμό ανέβασμα διαπέντε (5κ). Δηλαδή το 3 δείχνει τον ΔΗ, το 3² τον ΠΑ, το 3³ τον ΚΕ, το 3⁵ τον ΖΩ. Έτσι έχουμε:

3/2 => ΝΗ-ΔΗ , 4/3 => ΔΗ-ΝΗ , 9/8 =>ΝΗ-ΠΑ , 32/27 =>ΚΕ-ΝΗ, 256/243 => ΖΩ-ΝΗ

Εύκολα τώρα μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι 6 τόνοι δίνουν διάστημα μεγαλύτερο του διαπασών αφού 3¹²/2¹⁸ > 2 ή με άλλα λόγια αν προχωρήσουμε 6 τόνους από το ΝΗ ο φθόγγος που θα φτάσουμε θα έχει μεγαλύτερη συχνότητα (κραδασμό) από το ΝΗ’ αφού 3¹²/2¹⁹ > 1

Αυτή η διαφορά ( 3¹²/2¹⁹ ) ονομάστηκε «Πυθαγόρειο κόμμα» και κατά Πτολεμαίο ταιριάζει να είναι το διάστημα 74/73.

Πυθαγόρειο κόμμα 3¹²/2¹⁹ = 531441 / 524288 = 1,0136

Αν συνεχίσουμε ανεβαίνοντας άλλους 6 τόνους η διαφορά θα διπλασιαστεί και θα γίνει περίπου 37/36 κατά Πτολεμαίο.

Δυο πυθαγόρεια κόμματα 3²⁴/2³⁸ = 282429536481 / 274877906944 = 1,0275 περίπου 37/36 (κατά Πτολεμαίο).

Να επισημάνουμε εδώ ότι αυτό το διάστημα απέχει από το 1/4 του τόνου (4^η ρίζα του 9/8 = 1,0299) λίγο πολύ 4cents (μόνο νεαρά άτομα μπορούν να αντιληφθούν τη διαφορά των δυο διαστημάτων). Από την εναρμόνια δίεση μόλις 1,8cents (τετραγωνική ρίζα του 256/243 = 1,0264). Έτσι μπορούμε να θεωρήσουμε ως εναρμόνια δίεση το παραπάνω διάστημα.

Εναρμόνια δίεση 3²⁴/2³⁸ = 282429536481 / 274877906944 = 1,0275

Αν το λείμμα αφαιρεθεί από τον μείζων τόνο προκύπτει η «αποτομή».

(3²/2³) / (2⁸/3⁵) = 3⁷/2¹¹

Αποτομή 3⁷/2¹¹ = 2187/2048 = 1,0679

Αν την αναλύσουμε βλέπουμε ότι προκύπτει αν ανέβουμε ένα μείζων τόνο πάνω από τον ΖΩ και αντί να φτάσουμε στο ΝΗ που απέχει λείμμα από τον ΖΩ φτάνουμε σε φθόγγο κατά μια αποτομή πάνω από τον ΝΗ (ΝΗ#).

Στη συνέχεια αφαιρώντας μια αποτομή από το τριημίτονο προκύπτει ένας τόνος μικρότερος του μείζονα έστω ο «φυσικός τόνος» Ας μας επιτραπεί να τον ονομάσουμε έτσι μια και αποτελεί την πυθαγόρεια έκφραση του διδυμικού 10/9 που βρίσκεται μόλις 1.9 cents δίπλα του (φυσικό τόνο αναφέρουν τον διδυμικό οι Ευρωπαίοι).

(2⁵/3³) / (2⁷/2¹¹) = 2¹⁶/3¹⁰

Φυσικός τόνος 2¹⁶/3¹⁰ = 65536/59049 = 1,1099

Εύκολα διακρίνουμε ότι ο τόνος αυτός συνίσταται από 2 λείμματα και μαζί με 5 μείζων τόνους συμπληρώνει το διαπασών ακριβώς.

(3²/2³)⁵ * (2¹⁶/3¹⁰) = (3¹⁰/2¹⁵)*( 2¹⁶/3¹⁰) = 2

Ακόμα παρατηρούμε ότι ένας μείζων τόνος, ένας φυσικός τόνος και μια αποτομή συνιστούν συλλαβή (4κ).

(3²/2³) * (2¹⁶/3¹⁰) * (3⁷/2¹¹) = 2²/3

Τι θα μείνει όμως αν από ένα φυσικό τόνο αφαιρεθεί μια αποτομή; Θα φανερωθεί ένα διάστημα που είναι τόσο μικρότερο από το λείμμα όσο η αποτομή είναι μεγαλύτερη από το λείμμα.

(2¹⁶/3¹⁰) : (3⁷/2¹¹) = 2²⁷/3¹⁷

Αυτό το διάστημα είναι σχεδόν ίσο με το 1/3 του τόνου αφού η Τρίτη ρίζα του 9/8 είναι ίσο με 1,040 ενώ 2²⁷/3¹⁷ = 1,0393. Η διαφορά είναι μόλις 1,2 cents. Έτσι μπορούμε να θεωρήσουμε αυτό το διάστημα ως το 1/3 του τόνου. Αυτό το διάστημα αναφέρεται από τους αρχαίους ως «χρωματική δίεση».

Χρωματική δίεση 2²⁷/3¹⁷ = 134217728 / 129140163 = 1,0393

Το διάστημα αυτό προκύπτει αν προχωρήσουμε 8 τόνους στη σειρά και μια πέμπτη καθαρή. Φτάνουμε τότε στο φθόγγο ΖΩ ανεβασμένο κατά ένα πυθαγόρειο κόμμα έστω ΖΩ’. Η απόσταση αυτού του ΖΩ’ από το διπλανό ΝΗ είναι 1/3 του τόνου. ΖΩ’-ΝΗ = 1/3 του τόνου.

Αν τώρα αφαιρέσουμε μια χρωματική δίεση από τον μείζων τόνο θα σχηματίσουμε τα 2/3 του τόνου.

3²/2³ : 2²⁷/3¹⁷ = 3¹⁹/2³⁰

Αυτό το διάστημα προκύπτει αν από το προηγούμενο ΖΩ’ ανέβουμε ένα τόνο και φτάσουμε στον ΠΑ (κατεβασμένο τόσο ώστε να σχηματίζει 2/3 του τόνου με τον διπλανό ΝΗ). Αυτό το διάστημα αναφέρεται ως «ελάχιστος τόνος» (η Επιτροπή τον υπολογίζει ως 27/25).

Ελάχιστος τόνος 3¹⁹/2³⁰ = 1162261467 / 1073741824 = 1,0824

Αυτός ο τόνος συμπληρώνει το τριημίτονο με έναν άλλο τόνο μικρότερο του μείζονα και του φυσικού τόνου που μπορούμε να τον ονομάσουμε «ελάσσων τόνο» (η Επιτροπή τον υπολογίζει ως 800/729).

2⁵/3³ : 3¹⁹/2³⁰ = 2³⁵/3²²

Ελάσσων τόνος 2³⁵/3²² = 34359738368 / 31381059609 = 1,0949

Προκύπτει αν πάρουμε 11 τόνους στη σειρά και φτάσουμε σε ένα ΚΕ τόσο αυξημένο που να σχηματίζει με τον επόμενο ΝΗ έναν τέτοιο τόνο.

Επιστροφή στην κορυφή

Ας συνοψίσουμε τώρα όλα τα διαστήματα που έχουν παραχθεί.

Όλα τα παραπάνω διαστήματα που είναι μικρότερα του μείζων τόνου μπορεί να έχουν το φθόγγο του ίσου (ΝΗ) βάση ή κορυφή. Στην πρώτη περίπτωση το 2 είναι στον παρανομαστή και στην δεύτερη στον αριθμητή. Παρατηρούμε τα πρώτα να λειτουργούν ως ανιόντα και τα δεύτερα ως κατιόντα. Κάθε ανιόν μπορεί να υπολογιστεί και ως κατιόν και το αντίστροφο. Έτσι προκύπτει ο παρακάτω πίνακας:

Τα διαστήματα κάθε ζευγαριού διαφέρουν κατά 3⁵³/2⁸⁴ δηλαδή περίπου 3.6cents. Αυτό το διάστημα είναι στο όριο αντίληψης των νεαρών ατόμων όπως είδαμε και παραπάνω και προκύπτει αν πάρουμε 26 τόνους στη σειρά και μια πέμπτη και φτάσουμε σε ένα φθόγγο μόλις 3.6cents οξύτερο του φθόγγου του ίσου. Αν όμως κάποιοι μπορούν να αντιληφθούν τόσο μικρή διαφορά στην οξύτητα σίγουρα κανείς δεν μπορεί να την αποδώσει με τη φωνή του.

Ας επιτραπεί να αποκαλούμε το παρακάτω διάστημα «Ανοχή».

Ανοχή = 3⁵³/2⁸⁴

Αν το πυθαγόρειο κόμμα οδηγεί σε συγκερασμούς μικρότερους των εκατό μορίων η ανοχή οδηγεί σε συγκερασμό κοντά στα 300 μόρια.

Χρησιμοποιώντας τώρα τον παραπάνω πίνακα μπορούμε να δούμε ότι το λείμμα με την αποτομή, ο ελάχιστος τόνος με τη χρωματική δίεση, ο ελάσσων τόνος με την εναρμόνια δίεση και ο φυσικός τόνος με το πυθαγόρειο κόμμα συμπληρώνουν κάθε φορά ένα μείζων τόνο. Ακόμα ότι αν προσθέσουμε ένα Πυθαγόρειο κόμμα σε κάθε άλλο διάστημα μικρότερο του τόνου θα προκύψει το μεγαλύτερο του.

Λείμμα + Αποτομή = Μείζων τόνος :

2⁸/3⁵ * 3⁷/2¹¹ = 3²/2³ = 9/8

Ελάχιστος τόνος + Χρωματική δίεση = Μείζων τόνος :

3¹⁹/2³⁰ * 2²⁷/3¹⁷ = 3²/2³ = 9/8

Ελάσσων τόνος + Εναρμόνια δίεση = Μείζων τόνος :

2³⁵/3²² * 3²⁴/2³⁸ = 3²/2³ = 9/8

Φυσικός τόνος + Πυθαγόρειο κόμμα = Μείζων τόνος :

2¹⁶/3¹⁰ * 3¹²/2¹⁹ = 3²/2³ = 9/8

Πυθαγόρειο κόμμα + Εναρμόνια δίεση = Χρωματική δίεση :

3¹²/2¹⁹ * 2⁴⁶/3²⁹ = 2²⁷/3¹⁷

Πυθαγόρειο κόμμα + Χρωματική δίεση = Λείμμα :

3¹²/2¹⁹ * 2²⁷/3¹⁷ = 2⁸/3⁵

Πυθαγόρειο κόμμα + Λείμμα = Αποτομή :

3¹²/2¹⁹ * 2⁸/3⁵ = 3⁷/2¹¹

Πυθαγόρειο κόμμα + Αποτομή = Ελάχιστος τόνος :

3¹²/2¹⁹ * 3⁷/2¹¹ = 3¹⁹/2³⁰

Πυθαγόρειο κόμμα + Ελάχιστος τόνος = Ελάσσων τόνος :

3¹²/2¹⁹ * 2⁵⁴/3³⁴ = 2³⁵/3²²

Πυθαγόρειο κόμμα + Ελάσσων τόνος = Φυσικός τόνος :

3¹²/2¹⁹ * 2³⁵/3²² = 2¹⁶/3¹⁰

Επιστροφή στην κορυφή